Векторные величины — Репетитор физики, математики

Векторные величины в физике применяются в тех случаях, когда при их суммировании приходится учитывать не только размер, но и направление. Например, результат сложения двух последовательных перемещений зависит не только от их величины, но и от того, в каком направлении выполнены перемещения, следовательно перемещение является вектором. Результат сложения двух масс зависит только от их величины, может быть найдет единственным способом, следовательно масса является скалярной величиной, а не векторной.

К векторным величинам относятся: перемещение $\vec{S}$ , скорость $\vec{v}$ , ускорение $\vec{a}$ , сила $\vec{F}$ , импульс $\vec{p}$ , напряженность поля $\vec{E}$ , магнитная индукция $\vec{B}$ и другие величины.

Характеристики вектора (рис.1):

1) $S$ модуль вектора — положительное число, равное длине вектора;

2) $\beta$ угол наклона вектора — угол между прямой, проходящей через вектор и выбранной осью (на рис.1 осью X);

3) $S_x, S_y$ проекция вектора — число, равное длине «тени» вектора со знаком «+» или «-» . Знак «+» ставится, если «тень» сонаправлена с осью координат и знак «-» ставится, если «тень» противоположно направлена оси координат.

Нахождение модуля и проекций вектора :

1) Проекцию вектора можно найти через его координаты, для этого от координаты конца вектора нужно отнять координату начала вектора:

$S_x = x - x_0 \qquad_{(25.1)}$

$S_y = y - y_0 \qquad_{(25.2)}$

2) Проекцию вектора можно найти с помощью угла, для этого модуль вектора нужно умножить на косинус прилежащего или синус противолежащего угла:

$S_x =\pm S \cdot \cos \beta \qquad_{(25.3)}$

$S_y =\pm S \cdot \sin \beta \qquad_{(25.4)}$

3) Модуль вектора можно найти через его проекции по теореме Пифагора:

$S=\sqrt{{S_x}^2 + {S_y}^2} \qquad_{(25.5)}$

Проекции векторов, параллельных оси координат:

1) Если вектор $\vec{S_1}$ противоположно направлен оси координат (рис.3), то его проекция на эту ось равна модулю вектора со знаком «-» :

$S_{1x} = - S_1 \qquad_{(25.6)}$

2) Если вектор $\vec{S_2}$ сонаправлен с осью координат (рис.3), то его проекция на эту ось равна модулю вектора со знаком «+» :

$S_{2x} = + S_2 \qquad_{(25.7)}$

Сложение двух векторов методом треугольника (рис.4а). Сначала строится первый вектор $\vec{a}$ , из его конца строится второй вектор $\vec{b}$ . Итоговый вектор $\vec{c}$ проводится из начала первого к концу второго вектора.

Сложение двух векторов методом параллелограмма (рис.4б). Оба вектора $\vec{a},\vec{b}$ строятся выходящими из одной точки. К концам векторов достраиваются две стороны параллелограмма. Итоговый вектор $\vec{c}$ проводится из начала векторов к противоположной вершине параллелограмма.

Сложение любого числа векторов (рис.5). Сначала строится первый вектор $\vec{a}$ , из его конца строится второй вектор $\vec{b}$ , из конца второго третий $\vec{d}$ и далее строятся остальные векторы. Итоговый вектор $\vec{c}$ проводится из начала первого вектора к концу самого последнего.

Разность двух векторов (Рис.6). Оба вектора $\vec{a},\vec{b}$ строятся выходящими из одной точки. Итоговый вектор $\vec{e}$ соединяет концы векторов в направлении к уменьшаемому вектору $\vec{a}$ .