Разное
Алгоритм выражения величины из уравнения
1. Определить вид уравнения — многочлен или пропорция.
Многочлен состоит из трех и более членов выражения, соединенных знаками или
, где каждый член — это группа величин, соединенных знаками умножения, деления или степени. Например:
— многочлен с четырьмя членами,
— многочлен с тремя членами (0 тоже считается).
Пропорция состоит из двух членов выражения, каждый из которых является дробью, разделенных знаком . Например:
— пропорция,
— пропорция.
2. Преобразовать многочлен в пропорцию. Для этого член выражения, содержащий искомую величину, перенести на ту сторону, где он будет с положительным знаком и уединить его, перенеся остальные члены на другую сторону с заменой их знаков на противоположные. Преобразовать в дробь левую и правую части.
Например, если в выражении искомая величина
, то член выражения, содержащий искомую величину
. Необходимо выполнить следующие действия:
— перенос
на ту сторону, где знак положителен, в данном случае направо,
— уединение
переносом на другую сторону остальных членов,
— преобразование левой и правой частей в дробь (если нет знаменателя, указывают знаменатель = 1).
3. В пропорции перенести искомую величину на ту сторону, где она будет в числителе (наверху) методом «накрест» и уединить ее перенеся остальные величины на другую сторону методом «накрест».
Например, для предыдущего примера последовательность переноса следующая:
перенос искомой
в числитель (наверх) налево,
уединение
переносом остальных величин на другую сторону «накрест»,
в ответе единичный знаменатель не пишется.
Системы уравнений
Преобразования, приводящие к равносильным системам:
( — функции двух переменных
)
1. Замена любого уравнения системы другим равносильным ему ():
2. Если в одном из уравнений системы левая часть является произведением двух функций равным нулю, то система равносильна совокупности:
3. Умножение любого уравнения системы на число, отличное от нуля ():
4. Прибавление к одному из уравнений линейной комбинации нескольких других:
5. Возведение в квадрат одного из уравнений:
6. Произведение уравнений:
7. Сумма и разность уравнений:
Неравенства с модулем
Иррациональные неравенства
Равносильные уравнения и неравенства
Определение ОДЗ. Если на числовом множестве задана функция
, а на множестве
задана функция
, то для уравнений и неравенств вида
,
,
областью допустимых значений (ОДЗ) называют множество всех значений переменной
, при которой определены обе части уравнения или неравенства, то есть пересечение множеств
и
.
Два неравенства или уравнения называются равносильными на множестве , если множества решений этих неравенств (уравнений) на
совпадает. Замена одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на
называют равносильным переходом на
.
Операции, приводящие к равносильным уравнениям (неравенствам).
1. Прибавление функции к обеим частям уравнения (неравенства)
2. Умножение на ненулевую функцию обеих частей уравнения
3. Умножение на положительную функцию обеих частей неравенства
4. Умножение на отрицательную функцию обеих частей неравенства с заменой знака на противоположный
5. Переход в неравенстве с неотрицательными функциями к квадрату функций
6. Возведение уравнения в нечетную натуральную степень, где
7. Нестрогое неравенство равносильно совокупности уравнения и строгого неравенства
8. Неравенство с дробью равносильно неравенству с произведением
9. Уравнения вида
Если функция проще, чем
, то:
Если функция проще, чем
, то:
Квадратное уравнение
Для квадратного уравнения
Дискриминант
Корни уравнения
Если четный, то используется
и дискриминант
Тогда корни уравнения
Теорема Виета. Если — корни квадратного уравнения
, то:
Для приведенного квадратного уравнения :
Теорема о разложении на множители квадратного трехчлена. Если — корни квадратного уравнения
, то:
Решение неравенства — это нахождение множества значений переменных, обращающих неравенство в верное.
Метод интервалов для решения неравенств
1. Числитель и знаменатель дроби (или многочлен) представить в виде произведения линейных двучленов.
2. Найти корни двучленов.
3. Отметить на оси координат корни знаменателя пустыми точками, а корни числителя пустыми точками для строгих знаков и полными для нестрогих.
4. Определить знак дроби (многочлена) на правом интервале, на остальных интервалах менять знак на противоположный при переходе через нуль двучлена. Если в дроби (многочлене) встречаются двучлены в четной степени, то при переходе через корни таких двучленов знак интервала не меняется, а повторяется.
5. Указать штриховкой интервалы нужного знака и записать ответ в виде промежутков. Если знак неравенства строгий, то все промежутки открытые, если знак неравенства нестрогий, то должны быть включены все полные точки.
Метод координат в стереометрии
1. Угол между прямыми
Если заданы направляющие векторы прямых и
, то угол между прямыми определяется по формуле: