Разное

Алгоритм выражения величины из уравнения

1. Определить вид уравнения — многочлен или пропорция.

Многочлен состоит из трех и более членов выражения, соединенных знаками  " + \," или  " - \, ", где каждый член — это группа величин, соединенных знаками умножения, деления или степени. Например:

 ab - \frac{cd}{2n} = c -5d — многочлен с четырьмя членами,

 \frac{5t^2}{4} - 3k = 0 — многочлен с тремя членами (0 тоже считается).

Пропорция состоит из двух членов выражения, каждый из которых является дробью, разделенных знаком  " = \, ". Например:

 \frac{5f}{2n} = \frac{cd}{mn} — пропорция,

 \frac{S}{1} = \frac{at^2}{2} — пропорция.

2. Преобразовать многочлен в пропорцию. Для этого член выражения, содержащий искомую величину, перенести на ту сторону, где он будет с положительным знаком и уединить его, перенеся остальные члены на другую сторону с заменой их знаков на противоположные. Преобразовать в дробь левую и правую части.

Например, если в выражении  ab - \frac{cd}{2n} = c -5d \: искомая величина  n, то член выражения, содержащий искомую величину  \frac{cd}{2n}. Необходимо выполнить следующие действия:

 ab  = + \frac{cd}{2n} + c -5d — перенос  \frac{cd}{2n} на ту сторону, где знак положителен, в данном случае направо,

 ab - c +5d  = + \frac{cd}{2n}   — уединение  \frac{cd}{2n} переносом на другую сторону остальных членов,

 \frac{ab - c + 5d}{1}   = \frac{cd}{2n}   — преобразование левой и правой частей в дробь (если нет знаменателя, указывают знаменатель = 1).

3. В пропорции перенести искомую величину на ту сторону, где она будет в числителе (наверху) методом «накрест» и уединить ее перенеся остальные величины на другую сторону методом «накрест».

Например, для предыдущего примера последовательность переноса следующая:

 \frac{n \cdot (ab - c + 5d)}{1}   = \frac{cd}{2}   перенос искомой  n в числитель (наверх) налево,

 \frac{n }{1}   = \frac{cd}{2\cdot (ab - c + 5d)}   уединение  n переносом остальных величин на другую сторону «накрест»,

 n = \frac{cd}{2\cdot (ab - c + 5d)}   в ответе единичный знаменатель не пишется.

Системы уравнений

Преобразования, приводящие к равносильным системам:
( f, g, h — функции двух переменных x, y)

1. Замена любого уравнения системы другим равносильным ему ( f \Leftrightarrow h ):

    \[ \left\{\begin{matrix} f=0 \\ g=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix} h = 0\\ g = 0 \end{matrix}\right. \qquad_{(1)}\]

2. Если в одном из уравнений системы левая часть является произведением двух функций равным нулю, то система равносильна совокупности:

    \[ \left\{\begin{matrix} f \cdot g = 0 \\ h = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow   \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f = 0\\ h = 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} g = 0 \\ h = 0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(2)}\]

3. Умножение любого уравнения системы на число, отличное от нуля ( A \neq 0 ):

    \[ \left\{\begin{matrix} f=0 \\ g=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix} A \cdot f =0\\ g=0 \end{matrix}\right. \qquad_{(3)}\]

4. Прибавление к одному из уравнений линейной комбинации нескольких других:

    \[ \left\{\begin{matrix} f=0 \\ g=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix} f + A \cdot g =0\\ g=0 \;\;\;\;\;\; \end{matrix}\right. \qquad_{(4)}\]

5. Возведение в квадрат одного из уравнений:

    \[ \left\{\begin{matrix} f=g \\ h=k \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f \cdot g \geqslant  0\\ f^2 = g^2 \\ h=k \end{matrix}\right. \Leftrightarrow   \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f = 0 \\ g=0 \\ h=k \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} f \cdot g > 0 \\  f^2=g^2 \\ h=k \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(5)}\]

6. Произведение уравнений:

    \[ \left\{\begin{matrix} f=g \\ h=k \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f = g = 0\\ h=k \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} f=g \neq  0 \\ f \cdot h = g \cdot k \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(6)}\]

7. Сумма и разность уравнений:

    \[ \left\{\begin{matrix} f=0 \\ g=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix} f + g =0\\ f - g=0 \end{matrix}\right. \qquad_{(7)}\]

Неравенства с модулем

    \[ \left | f \right | > g \Leftrightarrow   \begin{bmatrix} f > g \;\; \\ f < - g \end{matrix} \qquad_{(1)}\]

    \[ \left | f \right | > \left | g \right | \Leftrightarrow   (f - g)(f + g) > 0 \qquad_{(2)}\]

Иррациональные неравенства

    \[ \sqrt{f} >^\ast \sqrt{g} \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix} f >^\ast g\\ g\geqslant 0 \end{matrix}\right. \qquad_{(1)}\]

    \[ \sqrt{f} >^\ast g \Leftrightarrow   \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} g< 0\\ f\geqslant 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} g\geqslant  0 \; \; \; \; \; \; \\ f>^\ast g^2 \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(2)}\]

 

    \[ \sqrt{f} <^\ast g \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix} g >^\ast 0\\ f\geqslant 0 \; \; \; \; \; \; \\ f<^\ast g^2 \end{matrix}\right. \qquad_{(3)}\]

    \[  \sqrt{f} \cdot g \geq 0 \Leftrightarrow   \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f= 0\\ \exists \: \: g \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} g\geq 0\\ f> 0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(4)}\]

    \[  \frac{\sqrt{f} - g}{h} >^\ast(<) \; 0 \;\; \begin{matrix} _{ODZ}\\ \Leftrightarrow \end{matrix} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} g < 0\;\;\; \\ h > (<) \; 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} g \geqslant 0\;\;\;\;\;\; \\ \frac{f - g^2}{h} >^\ast(<) \; 0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(5)}\]

    \[ \frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{h} >^\ast 0 \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix} f \geqslant 0\\ g \geqslant 0 \\ \frac{f - g}{h} >^\ast 0 \end{matrix}\right. \qquad_{(6)}\]

    \[  \frac{\sqrt{f}}{g} \geqslant(\leqslant)\; 0 \Leftrightarrow   \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f= 0\\ g \neq 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} f > 0 \;\;\;\;  \\ g > (<) 0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(7)}\]

Равносильные уравнения и неравенства

Определение ОДЗ. Если на числовом множестве  X_1 задана функция  f(x), а на множестве  X_2  задана функция  g(x), то для уравнений и неравенств вида  f(x) = g(x),  f(x) > g(x) f(x) < g(x) областью допустимых значений (ОДЗ) называют множество всех значений переменной  x, при которой определены обе части уравнения или неравенства, то есть пересечение множеств  X_1  и  X_2 .

Два неравенства или уравнения называются равносильными на множестве  X, если множества решений этих неравенств (уравнений)  на  X совпадает. Замена одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на  X называют равносильным переходом на  X.

Операции, приводящие к равносильным уравнениям (неравенствам).

1. Прибавление функции к обеим частям уравнения (неравенства)

    \[ f(x)<g(x) \Leftrightarrow  f(x) + h(x) <g(x) + h(x)  \qquad_{(1)}\]


    \[ f(x)=g(x) \Leftrightarrow  f(x) + h(x) =g(x) + h(x)  \qquad_{(2)}\]

2. Умножение на ненулевую функцию  h(x) \neq 0 обеих частей уравнения

    \[ f(x)=g(x) \Leftrightarrow  f(x) \cdot h(x) =g(x) \cdot h(x)  \qquad_{(3)}\]

3. Умножение на положительную функцию  h(x) > 0 обеих частей неравенства

    \[ f(x)<g(x) \Leftrightarrow  f(x) \cdot h(x) <g(x) \cdot h(x)  \qquad_{(4)}\]

4. Умножение на отрицательную функцию  h(x) < 0 обеих частей неравенства с заменой знака на противоположный

    \[ f(x)<g(x) \Leftrightarrow  f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)  \qquad_{(5)}\]

5. Переход в неравенстве с неотрицательными функциями  f(x) \geqslant  0, g(x) \geqslant  0 к квадрату функций

    \[ f(x)<g(x) \Leftrightarrow  f^2{(x)}<g^2{(x)}  \qquad_{(6)}\]

6. Возведение уравнения в нечетную натуральную степень, где  n \in \mathbb{N}

    \[ f(x)=g(x) \Leftrightarrow  f^{2n+1}{(x)}=g^{2n+1}{(x)}  \qquad_{(7)}\]

7. Нестрогое неравенство равносильно совокупности уравнения и строгого неравенства

    \[  f (x) \geqslant (\leqslant) \: 0 \Leftrightarrow  \begin{bmatrix} \left\ f(x)= 0\\ \left\ f(x) > (<) \: 0 \right. \end{matrix} \qquad_{(4)}\]

8. Неравенство с дробью равносильно неравенству с произведением

    \[  \frac{f (x)}{g (x)} > (<) \: 0 \Leftrightarrow   f (x) \cdot g (x) > (<) \: 0 \qquad_{(4)}\]

9. Уравнения вида  \left | f (x) \right | = g (x)
Если функция  f (x) проще, чем  g (x), то:

    \[ \left | f (x) \right | = g (x) \Leftrightarrow  \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ f (x) = g(x) \; \; \; \; \; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} f (x) < 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \\ f (x) = - g (x) \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(9)}\]

Если функция  g (x) проще, чем  f (x), то:

    \[   \left | f (x) \right | = g (x) \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix} g(x)\geq 0\; \; \; \; \; \\ \begin{bmatrix} \left\ f(x) = g(x) \; \; \;  \\ \left\ f(x) = - g(x) \right. \end{matrix} \end{matrix}\right. \qquad_{(9)}\]

 

Квадратное уравнение

Для квадратного уравнения  ax^2 + bx + c = 0

Дискриминант  D

    \[ D=b^2 - 4ac  \qquad_{(0)}\]

Корни уравнения

    \[ x_{_{1,2}} = \frac{- b \pm  \sqrt{D}}{2a}  \qquad_{(0)}\]

Если  b четный, то используется   k = b/2 и дискриминант  D_1

    \[ D_1=k^2 - ac  \qquad_{(0)}\]

Тогда корни уравнения

    \[ x_{_{1,2}} = \frac{- k \pm  \sqrt{D_1}}{a}  \qquad_{(0)}\]

Теорема Виета. Если  x_{_{1}}, x_{_{2}} — корни квадратного уравнения  ax^2 + bx + c = 0, то:

    \[ x_{_{1}} + x_{_{2}} = \frac{- b}{a}  \qquad_{(0)}\]


    \[ x_{_{1}} \cdot x_{_{2}} = \frac{c}{a}  \qquad_{(0)}\]

Для приведенного квадратного уравнения  x^2 + bx + c = 0:

    \[ x_{_{1}} + x_{_{2}} = - b \qquad_{(0)}\]


    \[ x_{_{1}} \cdot x_{_{2}} = c  \qquad_{(0)}\]

Теорема о разложении на множители квадратного трехчлена. Если  x_{_{1}}, x_{_{2}} — корни квадратного уравнения  ax^2 + bx + c = 0, то:

    \[ ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_{_{1}})(x - x_{_{2}}) \qquad_{(0)}\]

Решение неравенства — это нахождение множества значений переменных, обращающих неравенство в верное.

Метод интервалов для решения неравенств

1. Числитель и знаменатель дроби (или многочлен) представить в виде произведения линейных двучленов.
2. Найти корни двучленов.
3. Отметить на оси координат корни знаменателя  пустыми точками, а корни числителя пустыми точками для строгих знаков и полными для нестрогих.
4. Определить знак дроби (многочлена) на правом интервале, на остальных интервалах менять знак на противоположный при переходе через нуль двучлена. Если в дроби (многочлене) встречаются двучлены в четной степени, то при переходе через корни таких двучленов знак интервала не меняется, а повторяется.
5. Указать штриховкой интервалы нужного знака и записать ответ в виде промежутков. Если знак неравенства строгий, то все промежутки открытые, если знак неравенства нестрогий, то должны быть включены все полные точки.