Разное — Репетитор физики, математики

Алгоритм выражения величины из уравнения

1. Определить вид уравнения — многочлен или пропорция.

Многочлен состоит из трех и более членов выражения, соединенных знаками $" + \,"$ или $" - \, "$ , где каждый член — это группа величин, соединенных знаками умножения, деления или степени. Например:

$ab - \frac{cd}{2n} = c -5d$ — многочлен с четырьмя членами,

$\frac{5t^2}{4} - 3k = 0$ — многочлен с тремя членами (0 тоже считается).

Пропорция состоит из двух членов выражения, каждый из которых является дробью, разделенных знаком $" = \, "$ . Например:

$\frac{5f}{2n} = \frac{cd}{mn}$ — пропорция,

$\frac{S}{1} = \frac{at^2}{2}$ — пропорция.

2. Преобразовать многочлен в пропорцию. Для этого член выражения, содержащий искомую величину, перенести на ту сторону, где он будет с положительным знаком и уединить его, перенеся остальные члены на другую сторону с заменой их знаков на противоположные. Преобразовать в дробь левую и правую части.

Например, если в выражении $ab - \frac{cd}{2n} = c -5d \:$ искомая величина $n$ , то член выражения, содержащий искомую величину $\frac{cd}{2n}$ . Необходимо выполнить следующие действия:

$ab = + \frac{cd}{2n} + c -5d$ — перенос $\frac{cd}{2n}$ на ту сторону, где знак положителен, в данном случае направо,

$ab - c +5d = + \frac{cd}{2n}$ — уединение $\frac{cd}{2n}$ переносом на другую сторону остальных членов,

$\frac{ab - c + 5d}{1} = \frac{cd}{2n}$ — преобразование левой и правой частей в дробь (если нет знаменателя, указывают знаменатель = 1).

3. В пропорции перенести искомую величину на ту сторону, где она будет в числителе (наверху) методом «накрест» и уединить ее перенеся остальные величины на другую сторону методом «накрест».

Например, для предыдущего примера последовательность переноса следующая:

$\frac{n \cdot (ab - c + 5d)}{1} = \frac{cd}{2}$ перенос искомой $n$ в числитель (наверх) налево,

$\frac{n }{1} = \frac{cd}{2\cdot (ab - c + 5d)}$ уединение $n$ переносом остальных величин на другую сторону «накрест»,

$n = \frac{cd}{2\cdot (ab - c + 5d)}$ в ответе единичный знаменатель не пишется.

Системы уравнений

Преобразования, приводящие к равносильным системам:
( $f, g, h$ — функции двух переменных $x, y$ )

1. Замена любого уравнения системы другим равносильным ему ( $f \Leftrightarrow h$ ):

$\left\{\begin{matrix} f=0 \\ g=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} h = 0\\ g = 0 \end{matrix}\right. \qquad_{(1)}$

2. Если в одном из уравнений системы левая часть является произведением двух функций равным нулю, то система равносильна совокупности:

$\left\{\begin{matrix} f \cdot g = 0 \\ h = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f = 0\\ h = 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} g = 0 \\ h = 0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(2)}$

3. Умножение любого уравнения системы на число, отличное от нуля ( $A \neq 0$ ):

$\left\{\begin{matrix} f=0 \\ g=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A \cdot f =0\\ g=0 \end{matrix}\right. \qquad_{(3)}$

4. Прибавление к одному из уравнений линейной комбинации нескольких других:

$\left\{\begin{matrix} f=0 \\ g=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f + A \cdot g =0\\ g=0 \;\;\;\;\;\; \end{matrix}\right. \qquad_{(4)}$

5. Возведение в квадрат одного из уравнений:

$\left\{\begin{matrix} f=g \\ h=k \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f \cdot g \geqslant 0\\ f^2 = g^2 \\ h=k \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f = 0 \\ g=0 \\ h=k \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} f \cdot g > 0 \\ f^2=g^2 \\ h=k \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(5)}$

6. Произведение уравнений:

$\left\{\begin{matrix} f=g \\ h=k \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f = g = 0\\ h=k \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} f=g \neq 0 \\ f \cdot h = g \cdot k \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(6)}$

7. Сумма и разность уравнений:

$\left\{\begin{matrix} f=0 \\ g=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f + g =0\\ f - g=0 \end{matrix}\right. \qquad_{(7)}$

Неравенства с модулем

$\left | f \right | > g \Leftrightarrow \begin{bmatrix} f > g \;\; \\ f < - g \end{matrix} \qquad_{(1)}$

$\left | f \right | > \left | g \right | \Leftrightarrow (f - g)(f + g) > 0 \qquad_{(2)}$

Иррациональные неравенства

$\sqrt{f} >^\ast \sqrt{g} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f >^\ast g\\ g\geqslant 0 \end{matrix}\right. \qquad_{(1)}$

$\sqrt{f} >^\ast g \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} g< 0\\ f\geqslant 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} g\geqslant 0 \; \; \; \; \; \; \\ f>^\ast g^2 \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(2)}$

$\sqrt{f} <^\ast g \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} g >^\ast 0\\ f\geqslant 0 \; \; \; \; \; \; \\ f<^\ast g^2 \end{matrix}\right. \qquad_{(3)}$

$\sqrt{f} \cdot g \geq 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f= 0\\ \exists \: \: g \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} g\geq 0\\ f> 0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(4)}$

$\frac{\sqrt{f} - g}{h} >^\ast(<) \; 0 \;\; \begin{matrix} _{ODZ}\\ \Leftrightarrow \end{matrix} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} g < 0\;\;\; \\ h > (<) \; 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} g \geqslant 0\;\;\;\;\;\; \\ \frac{f - g^2}{h} >^\ast(<) \; 0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(5)}$

$\frac{\sqrt{f} - \sqrt{g}}{h} >^\ast 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f \geqslant 0\\ g \geqslant 0 \\ \frac{f - g}{h} >^\ast 0 \end{matrix}\right. \qquad_{(6)}$

$\frac{\sqrt{f}}{g} \geqslant(\leqslant)\; 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f= 0\\ g \neq 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} f > 0 \;\;\;\; \\ g > (<) 0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(7)}$

Равносильные уравнения и неравенства

Определение ОДЗ. Если на числовом множестве $X_1$ задана функция $f(x)$ , а на множестве $X_2$ задана функция $g(x)$ , то для уравнений и неравенств вида $f(x) = g(x)$ , $f(x) > g(x)$ , $f(x) < g(x)$ областью допустимых значений (ОДЗ) называют множество всех значений переменной $x$ , при которой определены обе части уравнения или неравенства, то есть пересечение множеств $X_1$ и $X_2$ .

Два неравенства или уравнения называются равносильными на множестве $X$ , если множества решений этих неравенств (уравнений) на $X$ совпадает. Замена одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на $X$ называют равносильным переходом на $X$ .

Операции, приводящие к равносильным уравнениям (неравенствам).

1. Прибавление функции к обеим частям уравнения (неравенства)

$f(x)<g(x) \Leftrightarrow f(x) + h(x) <g(x) + h(x) \qquad_{(1)}$

$f(x)=g(x) \Leftrightarrow f(x) + h(x) =g(x) + h(x) \qquad_{(2)}$

2. Умножение на ненулевую функцию $h(x) \neq 0$ обеих частей уравнения

$f(x)=g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) =g(x) \cdot h(x) \qquad_{(3)}$

3. Умножение на положительную функцию $h(x) > 0$ обеих частей неравенства

$f(x)<g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) <g(x) \cdot h(x) \qquad_{(4)}$

4. Умножение на отрицательную функцию $h(x) < 0$ обеих частей неравенства с заменой знака на противоположный

$f(x)<g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x) \qquad_{(5)}$

5. Переход в неравенстве с неотрицательными функциями $f(x) \geqslant 0, g(x) \geqslant 0$ к квадрату функций

$f(x)<g(x) \Leftrightarrow f^2{(x)}<g^2{(x)} \qquad_{(6)}$

6. Возведение уравнения в нечетную натуральную степень, где $n \in \mathbb{N}$

$f(x)=g(x) \Leftrightarrow f^{2n+1}{(x)}=g^{2n+1}{(x)} \qquad_{(7)}$

7. Нестрогое неравенство равносильно совокупности уравнения и строгого неравенства

$f (x) \geqslant (\leqslant) \: 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\ f(x)= 0\\ \left\ f(x) > (<) \: 0 \right. \end{matrix} \qquad_{(4)}$

8. Неравенство с дробью равносильно неравенству с произведением

$\frac{f (x)}{g (x)} > (<) \: 0 \Leftrightarrow f (x) \cdot g (x) > (<) \: 0 \qquad_{(4)}$

9. Уравнения вида $\left | f (x) \right | = g (x)$
Если функция $f (x)$ проще, чем $g (x)$ , то:

$\left | f (x) \right | = g (x) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ f (x) = g(x) \; \; \; \; \; \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} f (x) < 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \\ f (x) = - g (x) \end{matrix}\right. \end{matrix} \qquad_{(9)}$

Если функция $g (x)$ проще, чем $f (x)$ , то:

$\left | f (x) \right | = g (x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} g(x)\geq 0\; \; \; \; \; \\ \begin{bmatrix} \left\ f(x) = g(x) \; \; \; \\ \left\ f(x) = - g(x) \right. \end{matrix} \end{matrix}\right. \qquad_{(9)}$

Квадратное уравнение

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$

Дискриминант $D$

$D=b^2 - 4ac \qquad_{(0)}$

Корни уравнения

$x_{_{1,2}} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2a} \qquad_{(0)}$

Если $b$ четный, то используется $k = b/2$ и дискриминант $D_1$

$D_1=k^2 - ac \qquad_{(0)}$

Тогда корни уравнения

$x_{_{1,2}} = \frac{- k \pm \sqrt{D_1}}{a} \qquad_{(0)}$

Теорема Виета. Если $x_{_{1}}, x_{_{2}}$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ , то:

$x_{_{1}} + x_{_{2}} = \frac{- b}{a} \qquad_{(0)}$

$x_{_{1}} \cdot x_{_{2}} = \frac{c}{a} \qquad_{(0)}$

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ :

$x_{_{1}} + x_{_{2}} = - b \qquad_{(0)}$

$x_{_{1}} \cdot x_{_{2}} = c \qquad_{(0)}$

Теорема о разложении на множители квадратного трехчлена. Если $x_{_{1}}, x_{_{2}}$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ , то:

$ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_{_{1}})(x - x_{_{2}}) \qquad_{(0)}$

Решение неравенства — это нахождение множества значений переменных, обращающих неравенство в верное.

Метод интервалов для решения неравенств

1. Числитель и знаменатель дроби (или многочлен) представить в виде произведения линейных двучленов.
2. Найти корни двучленов.
3. Отметить на оси координат корни знаменателя пустыми точками, а корни числителя пустыми точками для строгих знаков и полными для нестрогих.
4. Определить знак дроби (многочлена) на правом интервале, на остальных интервалах менять знак на противоположный при переходе через нуль двучлена. Если в дроби (многочлене) встречаются двучлены в четной степени, то при переходе через корни таких двучленов знак интервала не меняется, а повторяется.
5. Указать штриховкой интервалы нужного знака и записать ответ в виде промежутков. Если знак неравенства строгий, то все промежутки открытые, если знак неравенства нестрогий, то должны быть включены все полные точки.

Метод координат в стереометрии

1. Угол между прямыми
Если заданы направляющие векторы прямых $\vec {a} (x_1;y_1;z_1)$ и $\vec {b} (x_2;y_2;z_2)$ , то угол между прямыми определяется по формуле:

$\cos x =\frac{1 - tg^2 \frac {x}{2}}{1 + tg^2 \frac {x}{2}} \qquad_{(1)}$