Главная › Математика › 6. Логарифмы

6. Логарифмы

6.1 Свойства логарифма

6.1.1 Определение. Логарифмом называется показатель степени, в который надо возвести основание логарифма, чтобы получить подлогарифмическое выражение:

    \[ \log_a{b}=c \qquad \rightarrow \qquad a^c=b \]

ОДЗ логарифма :  \left\{\begin{matrix} b>0\\ a>0\\ a\neq1 \end{matrix}\right.

Основное логарифмическое свойство:     a^{\log_a{b}}=b \qquad_{(6.1.2)}

    \[ a^{\log_c{b}}=b^{\log_c{a}} \qquad_{(6.1.3)}\]

    \[ \log_a{b} + \log_a{c}= \log_a{(b\cdot c)}\qquad_{(6.1.4\, a)}\]

    \[ \log_a{(b\cdot c)}}=\log_a{\mid b \mid} + \log_a{\mid c \mid} \qquad_{(6.1.4\, b)}\]

    \[ \log_a{b} - \log_a{c}= \log_a{\frac{b}{c}}\qquad_{(6.1.5\, a)}\]

    \[ \log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{\mid b \mid} - \log_a{\mid c \mid} \qquad_{(6.1.5\, b)}\]

    \[ n \cdot \log_a{b}= \log_a{b^n} \qquad_{(6.1.6\, a)}\]

    \[ \log_a{b^n}=n \cdot \log_a{\mid b \mid} \qquad_{(6.1.6\, b)}\]

    \[ \frac{1}{m} \cdot \log_{a}{b}=\log_{a^m}{b} \qquad_{(6.1.7)\, a}\]

    \[ \log_{a^m}{b}=\frac{1}{m} \cdot \log_{\mid a \mid}{b} \qquad_{(6.1.7)\, b}\]

    \[ \log_{a}{b}=\log_{a^m}{b^m} \qquad_{(6.1.8)\, a}\]

    \[ \log_{a^m}{b^m}=\log_{\mid a \mid}{\mid b \mid} \qquad_{(6.1.8)\, b}\]

    \[ \log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}} \qquad_{(6.1.9)\, a}\]

    \[ \log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}} \qquad_{(6.1.9)\, b}\]

6.2 Рационализация неравенств равносильными переходами

    \[ \log_{a}{b}\vee \log_{a}{c} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-1)(b-c)\vee 0 \\ ODZ \end{matrix}\right. \qquad_{(6.2.1)}\]

    \[ \log_{a}{b}\vee c \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-1)(b-a^c)\vee 0 \\ ODZ \end{matrix}\right. \qquad_{(6.2.3)}\]

    \[ \log_{a}{b}\vee 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-1)(b-1)\vee 0 \\ ODZ \end{matrix}\right. \qquad_{(6.2.4)}\]

    \[ \log_{a}{b} \vee \log_{c}{b} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-1)(b-1)(c-1)(c-a)\vee 0 \\ ODZ \; \;\;\;\;\; \qquad_{(6.2.5)} \end{matrix}\right.\]

    \[ \log_{a}{b} \cdot \log_{c}{d} \vee 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-1)(b-1)(c-1)(d-1)\vee 0 \\ ODZ \; \;\;\;\;\; \qquad_{(6.2.6)} \end{matrix}\right.\]