4. Стереометрия (формулы)
4.1. Призмы
4.1.1. Призма — многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.
4.1.2. Прямая призма — призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскости основания
4.1.3. Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
4.1.4. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы, или произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:
где — площадь основания,
— высота,
— площадь перпендикулярного сечения призмы,
— длина бокового ребра.
4.1.5. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней или произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:
где — площади боковых граней,
— периметр перпендикулярного сечения призмы.
4.1.6. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:
где — периметр основания призмы,
— высота призмы.
4.1.7. Площадь всей поверхности призмы равна сумме удвоенной площади основания и площади боковой поверхности:
4.1.8. Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм.
4.1.9. Прямой параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
4.1.10. Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда или произведению всех его ребер:
где — ребра прямого параллелепипеда.
4.1.11. Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда:
где — ребра при основании,
— боковое ребро.
4.1.12. Площадь всей поверхности прямого параллелепипеда:
4.1.13. Куб — параллелепипед, все грани которого являются квадратами.
4.1.14. Объем куба равен кубу ребра:
4.1.15. Площадь боковой поверхности куба равна квадрату ребра, умноженному на четыре:
4.1.16. Площадь всей поверхности куба равна квадрату ребра, умноженному на шесть:
4.2. Пирамиды
4.2.1. Пирамида — многогранник, в основании которого произвольный многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
4.2.2. Правильная пирамида — пирамида, в основании которой правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
4.2.3. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды:
4.2.4. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:
где — периметр основания,
— апофема (высота боковой грани).
4.2.5. Площадь всей поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
4.3. Тела вращения
4.3.1. Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.
4.3.2. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту или произведению на квадрат радиуса и на высоту цилиндра:
где — радиус и высота цилиндра.
4.3.3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна удвоенному произведению на радиус и на высоту цилиндра:
4.3.4. Площадь всей поверхности цилиндра:
4.3.5. Конус — геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.
4.3.6. Объем конуса равен одной трети произведения на квадрат радиуса и на высоту конуса:
4.3.7. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению на радиус и на образующую конуса:
где — образующая конуса.
4.3.8. Площадь всей поверхности конуса:
4.3.9. Шар — геометрическое тело, образованное вращением круга вокруг своего диаметра.
4.3.10. Сфера — поверхность шара.
4.3.11. Объем шара равен четырем третям произведения на куб радиуса:
4.3.12. Площадь сферы равна учетверенному произведению на квадрат радиуса: