5. Тригонометрия — Репетитор физики, математики

5.1. Основные понятия тригонометрии

5.1.1. Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.

5.1.2. Угловая точка на окружности задает угол между положительной полуосью абсцисс и радиусом, проведенным к этой точке.

5.1.3. Градусная мера угла показывает во сколько раз данный угол больше угла в 1 градус.

5.1.4. Радианная мера угла на единичной окружности равна длине дуги от нулевой до угловой точки.

5.1.5. Синус угла на единичной окружности равен ординате угловой точки.

5.1.6. Косинус угла на единичной окружности равен абсциссе угловой точки.

5.2 Свойства тригонометрических функций

Четность и нечетность позволяют перейти к функции положительного угла.

5.2.1. Функция $\cos x$ — четная (минус «исчезает»):

$\cos (- x) = \cos x }$

5.2.2. Функции $\sin x, tg x, ctg x$ — нечетные (минус «выносится вперед»):

$\sin (- x) = - \sin x \qquad_{(1)}$

$tg (- x) = - \: tg \:x \qquad_{(2)}$

$ctg (- x) = - \: ctg \: x \qquad_{(3)}$

Периодичность позволяет перейти от большого угла $y$ к меньшему углу $x$ :

5.2.3. Функции $\cos x$ и $\sin x$ имеют период $360^o$ или $2\pi$ рад — угол можно уменьшить на число кратное $360^o$ , или четное количество $\pi$ :

$\cos y = \cos (360^o \cdot n + x) = \cos x \qquad_{(1)}$

$\cos y = \cos (2\pi \cdot n + x) = \cos x \qquad_{(2)}$

5.2.4. Функции $tg x$ и $ctg x$ имеют период $180^o$ или $\pi$ рад — угол можно уменьшить на число кратное $180^o$ , или любое целое количество $\pi$ :

$tg \: y = tg (180^o \cdot n + x) = tg \: x \qquad_{(1)}$

$tg \: y = tg (\pi \cdot n + x) = tg \: x \qquad_{(2)}$

$ctg \: y = сtg \: (180^o \cdot n + x) = сtg \: x \qquad_{(3)}$

$ctg \: y = сtg \: (\pi \cdot n + x) = сtg \: x \qquad_{(4)}$

5.2.5. Формулы приведения к малому углу $x$ , значение которого лежит в пределах $90^o$ или $\frac{\pi}{2}$ рад. Переход от большого угла $y$ к меньшему углу $x$ производится по следующему алгоритму:

1) угол $y$ приводят к виду («дополнительный угол» $\pm \: x$ ):

$y = 90^o \pm x \ ; \ y = \frac{\pi}{2} \pm x ;$

$y = 180^o \pm x \ ; \ y = \pi \pm x ;$

$y = 270^o \pm x \ ; \ y = \frac{3 \pi}{2} \pm x ;$

$y = 360^o \pm x \ ; \ y = 2 \pi \pm x .$

2) по положению угловой точки определяют знак «+» или «-» для первоначальной функции угла;

3) если применялся «верхний» или «нижний» дополнительный угол ( $90^o ; 270^o ; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$ ), то функция заменяется на «парную» $\sin \leftrightarrow \cos ; tg \leftrightarrow ctg$ ;

если применялся «левый» или «правый» дополнительный угол ( $180^o ; 360^o ; \pi; 2\pi$ ), то функция остается прежней.

5.3. Основные тождества и следствия

$\sin^2 x + \cos ^2 x = 1 \qquad_{(5.3.1)}$

$\sin x = \pm \sqrt{1 - \cos ^2 x}; \qquad_{(5.3.2)}$

$\cos x = \pm \sqrt{1 - \sin ^2 x}; \qquad_{(5.3.3)}$

$tg\,^2 x + 1 = \frac{1}{\cos ^2 x} \qquad_{(5.3.4)}$

$ctg\,^2 x + 1 = \frac{1}{\sin ^2 x} \qquad_{(5.3.5)}$

$tg x \cdot ctg x = 1 \qquad_{(5.3.6)}$

$tg x = \frac{1}{ ctg x} ; \;\; ctg x = \frac{1}{ tg x} \qquad_{(5.3.7)}$

5.4. Формулы суммы и разности аргументов

$\sin( x \pm y) = \sin x \cdot \cos y \pm \sin y \cdot \cos x \qquad_{(5.4.1)}$

$\cos( x \pm y) = \cos x \cdot \cos y \mp \sin x \cdot \sin y \qquad_{(5.4.2)}$

$tg (x \pm y) = \frac{tg x \pm tg y}{ 1 \mp tg x \cdot tg y} \qquad_{(5.4.3)}$

5.5. Формулы двойного и половинного угла

$\sin 2 x = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \qquad_{(5.5.1)}$

$\cos 2 x = \cos^2 x - \sin^2 x =$

$= 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 \qquad_{(5.5.2)}$

$tg \, 2 x = \frac{ 2\, tg x}{ 1 -tg^2 x} \qquad_{(5.5.3)}$

$\sin^2 \frac{x}{2} =\frac{1 - \cos x}{2} \qquad_{(5.5.4)}$

$\cos^2 \frac{x}{2} =\frac{1 + \cos x}{2} \qquad_{(5.5.5)}$

$\sin x =\frac{2 \, tg \frac{x}{2}}{1 + tg^2 \frac {x}{2}} \qquad_{(5.5.6)}$

$\cos x =\frac{1 - tg^2 \frac {x}{2}}{1 + tg^2 \frac {x}{2}} \qquad_{(5.5.7)}$

5.6. Формулы суммы и разности функций

$\sin x \pm \sin y = 2\sin \frac{x \pm y}{2} \cdot \cos \frac{x \mp y}{2} \qquad_{(5.6.1)}$

$\cos x + \cos y = 2\cos \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x - y}{2} \qquad_{(5.6.2)}$

$\cos x - \cos y = - 2\sin \frac{x + y}{2} \cdot \sin \frac{x - y}{2} \qquad_{(5.6.3)}$

$tg \ x \pm tg \ y = \frac{\sin (x \pm y)}{\cos x \cdot \cos y} \qquad_{(5.6.4)}$

5.7 Формулы произведения функций

$\sin x \cdot \sin y = \frac{1}{2} ( \cos (x - y) - \cos (x + y)) \qquad_{(5.7.1)}$

$\cos x \cdot \cos y = \frac{1}{2} ( \cos (x - y) + \cos (x + y)) \qquad_{(5.7.2)}$

$\sin x \cdot \cos y = \frac{1}{2} ( \sin (x - y) + \sin (x + y)) \qquad_{(5.7.3)}$

5.8. Тригонометрические уравнения

Уравнение синуса

$\sin x = a, \: \: \: a \in [-1;1] \qquad_{(5.8.1)}$

Решение уравнения синуса в развернутом виде:

$\begin{bmatrix} \arcsin a + 2 \pi n \\ \pi - \arcsin a + 2 \pi n , n \in Z \end{matrix} \qquad_{(5.8.2)}$

или в кратком виде:

$x = (-1)^n \arcsin a+ \pi n , n \in Z \qquad_{(5.8.3)}$

Функция арксинус — нечетная:

$arcsin (-a) = - arcsin \: a \qquad_{(5.8.4)}$

Уравнение косинуса

$\cos x = a, \: \: \: a \in [-1;1] \qquad_{(5.8.5)}$

Решение уравнения косинуса в развернутом виде:

$\begin{bmatrix} \arccos a+ 2 \pi n \\ - \arccos a+ 2 \pi n , n \in Z \end{matrix} \qquad_{(5.8.2)}$

или в кратком виде:

$x = \pm \arccos a+ 2\pi n , n \in Z \qquad_{(5.8.7)}$

Уравнение тангенса

$tg \: x = a, \: \: \: a \in R, \: \: \: x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z \qquad_{(5.8.8)}$

Решение уравнения тангенса:

$x = arctg \: a + \pi n , n \in Z \qquad_{(5.8.9)}$

Функция арктангенс — нечетная:

$arctg (-a) = - arctg \: a \qquad_{(5.8.10)}$

Уравнение котангенса

$ctg \: x = a, \: \: \: a \in R, \: \: \: x \neq \pi + \pi n, n \in Z \qquad_{(5.8.11)}$

Решение уравнения котангенса:

$x = arcctg \: a + \pi n , n \in Z \qquad_{(5.8.12)}$