1. Планиметрия (определения) — Репетитор физики, математики

1.1. Прямые

1.1.1. Аксиома о прямой через точки. Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

1.1.2. Аксиома о длине отрезка. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

1.1.3. Аксиома о величине угла. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен $180 ^{\circ}$ . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

1.1.4. Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

1.1.5. Аксиома о параллельной прямой через точку. Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

1.1.6. Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

1.1.7. Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

1.1.8. Теорема о секущей 1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

1.1.9. Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

1.1.10. Теорема о секущей 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

1.1.11. Теорема о секущей 3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна $180 ^{\circ}$ .

1.1.12. Признак параллельности прямых 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

1.1.13. Признак параллельности прямых 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1.1.14. Признак параллельности прямых 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180 ^{\circ}$ , то прямые параллельны.

1.1.15. Определение. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.

1.1.16. Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

1.2. Углы

1.2.1. Определение биссектриссы. Биссектрисса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам.

1.2.2. Теорема о смежных углах. Сумма смежных углов равна $180 ^{\circ}$ .

1.2.3. Теорема о вертикальных углах. Вертикальные углы равны.

1.2.4. Теорема о параллельных сторонах углов. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют $180 ^{\circ}$ .

1.2.5. Теорема о перпендикулярных сторонах углов. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют $180 ^{\circ}$ .

1.2.6. Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

1.2.7. Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

1.2.8. Обратная теорема. Если прямые, пересекающие две другие прямые(параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

1.3. Треугольники

1.3.1. Теорема о сторонах и углах треугольника. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

1.3.2. Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

1.3.3. Следствие 2 (признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

1.3.4. Теорема о сторонах треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

1.3.5. Признак равенства треугольников 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

1.3.6. Признак равенства треугольников 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1.3.7. Признак равенства треугольников 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольника равны.

1.3.8. Признак равенства прямоугольного треугольника 1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

1.3.9. Признак равенства прямоугольного треугольника 2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

1.3.10. Признак равенства прямоугольного треугольника 3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

1.3.11. Признак равенства прямоугольного треугольника 4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

1.3.12. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, большая часть — ближе к вершине.

1.3.13. Теорема о разбиении треугольника медианой. Медиана делит треугольник на два треугольника одинаковой площади (равновеликих).

1.3.14. Теорема о центре описанной окружности. Центр описанной окружности треугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

1.3.15. Теорема о центре описанной окружности прямоугольного треугольника. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы. Радиус этой окружности равен половине гипотенузы: $R = \frac{1}{2} c$ .

1.3.16. Теорема о центре вписанной окружности. Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис.

1.3.17. Теорема о сумме углов треугольника. Сумма углов треугольника равна $180 ^{\circ}$ .

1.3.18. Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

1.3.19. Теорема об острых углах прямоугольного треугольника. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90 ^{\circ}$

1.3.20. Теорема о катете против угла в $30 ^{\circ}$ . Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30 ^{\circ}$ , равен половине гипотенузы.

1.3.21. Обратная теорема. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30 ^{\circ}$ .

1.3.22. Теорема об углах равнобедренного треугольника. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

1.3.23. Признак равнобедренного треугольника 1. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

1.3.24. Теорема о высоте, медиане и биссектриссе. В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

1.3.25. Признак равнобедренного треугольника 2. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки: медиана, биссектрисса, высота — то он является равнобедренным.

1.3.26. Определение. Подобными треугольниками называются треугольники с соответственно равными углами и пропорциональными соответственными сторонами.

1.3.27. Теорема о площадях подобных треугольников. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон.

1.3.28. Признак подобия треугольников 1. Если два угла треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

1.3.27. Признак подобия треугольников 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

1.3.28. Признак подобия треугольников 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

1.3.29 Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

1.4. Окружности и прямые

1.4.1. Теорема о касательной. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

1.4.2. Обратная теорема. Если прямая, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной.

1.4.3. Теорема о касательных. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

1.4.4. Определение. Градусная величина дуги окружности равна величине центрального угла, который на нее опирается.

1.4.5. Теорема о вписанном угле. Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается.

1.4.6. Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

1.4.7. Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

1.4.8. Теорема о хордах. Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

1.4.9. Теорема о касательной и секущей. Если из точки к окружности проведены касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

1.4.10. Теорема о двух секущих. Если из точки к окружности проведены две секущие, то произведения секущих на их внешние части равны.

1.5. Четырехугольники

1.5.1. Теорема о сумме углов четырехугольника. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360 ^{\circ}$

1.5.2. Определение. Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

1.5.3. Теорема о сторонах параллелограмма. Противоположные стороны параллелограмма равны.

1.5.4. Теорема об углах параллелограмма. Противоположные углы параллелограмма равны.

1.5.5. Теорема о смежных углах параллелограмма. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна $180 ^{\circ}$

1.5.6. Теорема о диагоналях параллелограмма. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1.5.7. Теорема о делении параллелограмма диагоналями. Пересекающиеся диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника равной площади (равновеликих).

1.5.8. Признак параллелограмма 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

1.5.9. Признак параллелограмма 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

1.5.10. Признак параллелограмма 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

1.5.11. Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

1.5.12. Прямоугольник, являясь частным случаем параллелограмма, имеет все его свойства.

1.5.13. Теорема о диагоналях прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

1.5.14. Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

1.5.15. Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

1.5.16. Теорема о диагоналях ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

1.5.17. Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

1.5.18. Теорема о диагоналях квадрата. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

1.5.19. Определение. Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

1.5.20. Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

1.5.21. Теорема об описанном четырехугольнике. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

1.5.22. Обратная теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

1.5.23. Теорема о вписанном четырехугольнике. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180 ^{\circ}$ .

1.5.24. Обратная теорема. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180 ^{\circ}$ , то около него можно описать окружность.

1.5.25. Теорема о сумме углов $n$ — угольника. Сумма углов выпуклого $n$ — угольника равна $180 (n - 2)$

1.6. Правильные многоугольники

1.6.1. Определение. Правильным многоугольников называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

1.6.2. Теорема о вписанной окружности. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается его сторон в их серединах.

1.6.3. Теорема о центре вписанной и описанной окружности. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.