2. Планиметрия (формулы) — Репетитор физики, математики

2.1. Формулы треугольников

2.1.1. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$c^2 = a^2 + b^2$

2.1.2. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Он показывает какую часть гипотенузы составляет противолежащий катет:

$\sin A = \frac{a}{c}; \: \sin B = \frac{b}{c}$

2.1.3. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Он показывает какую часть гипотенузы составляет прилежащий катет:

$\cos A = \frac{b}{c}; \: \cos B = \frac{a}{c}$

2.1.4. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Он показывает какую часть прилежащего катета составляет противолежащий:

$tg A = \frac{a}{b}; \: tg B = \frac{b}{a}$

2.1.5. Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему. Котангенс обратен тангенсу:

$ctg A = \frac{1}{tg A} = \frac{b}{a}; \: ctg B = \frac{1}{tg B} = \frac{a}{b}$

2.1.6. Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к данной стороне:

$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b= \frac{1}{2} c h_c$

2.1.7. Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов:

$S = \frac{1}{2} a b$

2.1.8. Площадь треугольника равна полупроизведению двух сторон на синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} c a \sin B$

2.1.9. Площадь треугольника равна корню квадратному из произведения полупериметра на полупериметр, поочередно уменьшенный на каждую из сторон (формула Герона):

$S = \sqrt{p (p-a)(p-b)(p-c)}$

2.1.10. Площадь треугольника равна произведению сторон, деленному на четыре радиуса описанной окружности:

$S = \frac{abc}{4R}$

2.1.11. Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности:

$S = pr$

2.1.12. Медиана треугольника:

$m_a =\frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

2.1.13. Биссектриса треугольника:

$n_a =\sqrt{bc - a_b a_c}$

2.1.14. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу:

$h_c =\sqrt{c_a c_b}$

2.1.15. Теорема синусов. Отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны между собой и равны удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} = 2R$

2.1.16. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$

2.1.17. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{b}{c} =\frac{a_b}{a_c}$

2.1.18 Теорема Менелая о треугольнике и секущей. Точки $A_1$ и $C_1$ , расположенные на сторонах $BC$ и $AB$ треугольника $ABC$ , и точка $B_1$ , расположенная на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ , лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда имеет место равенство:

$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$

2.1.19 Теорема Чевы. Пусть на сторонах или продолжениях сторон $AB$ , $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ , $A_1$ , $B_1$ , не совпадающие с его вершинами. Тогда прямые $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство:

$\frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1$

2.2. Формулы четырехугольников

2.2.1. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к данной стороне:

$S = a h_a = b h_b$

2.2.2. Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними:

$S = a b \sin C$

2.2.3. Площадь прямоугольника равна произведению двух смежных сторон:

$S = a b$

2.2.4. Площадь ромба равна квадрату стороны умноженному на синус угла между сторонами:

$S = a^2 \sin A$

2.2.5. Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$

2.2.6. Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

$S = a^2$

2.2.7. Площадь четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \sin C$

2.2.8. Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований:

$l = \frac{a + b}{2}$

2.2.9. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту или произведению средней линии на высоту:

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = l \cdot h$

2.3. Формулы кругов и окружностей

2.3.1. Длина окружности равна удвоенному произведению $\pi$ на радиус, или произведению $\pi$ на диаметр:

$C = 2 \pi R = \pi D$

2.3.2. Площадь круга равна произведению $\pi$ на квадрат радиуса, или одной четвертой произведения $\pi$ на диаметр:

$S = \pi R^2 = \frac{\pi D^2}{4}$