3. Стереометрия (определения)

3.1. Аксиомы и следствия

3.1.1. Аксиома о плоскости через точки. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

3.1.2. Аксиома о прямой на плоскости. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

3.1.3. Следствие. Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. (Если общая точка одна, то прямая и плоскость пересекаются. Если общая точка отсутствует, то прямая параллельна плоскости.)

3.1.4. Аксиома о пересечении плоскостей. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

3.1.5. Теорема о плоскости через точку и прямую. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3.1.6. Теорема о плоскости через прямые. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и при том только одна.

3.2. Параллельность прямых и плоскостей

3.2.1. Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3.2.2. Теорема о параллельной прямой через точку. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

3.2.3. Теорема о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3.2.4. Теорема о параллельности трех прямых. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

3.2.5. Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

3.2.6. Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

3.2.7. Теорема о параллельности прямой и  линии пересечения плоскостей: Если плоскость с параллельной ей прямой пересечь второй плоскостью, проходящей через прямую, то линия пересечения плоскостей будет параллельна прямой. (Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.)

3.2.8. Теорема о расположении параллельных прямых относительно плоскости. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

3.2.9. Теорема о плоскостях через параллельные прямые. Если через каждую из двух параллельных прямых проведены пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения параллельна данным прямым.

3.2.10. Определение. Прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости.

3.2.11. Признак скрещивающихся прямых. Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.

3.2.12. Теорема о параллельности плоскости и скрещивающейся прямой. Через каждую из скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

3.2.13. Теорема о равенстве углов в пространстве. Если стороны углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

3.2.14. Определение. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, параллельными скрещивающимся.

3.2.15. Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

3.2.16. Признак параллельности двух плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.

3.2.17. Теорема о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

3.2.18. Теорема о пересечении параллельными прямыми параллельных плоскостей. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

3.3. Перпендикулярность прямых и плоскостей

3.3.1. Теорема о перпендикулярности параллельных  прямых третьей. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то другая прямая также перпендикулярна третьей прямой.

3.3.2. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой этой плоскости.

3.3.3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

3.3.4. Теорема о перпендикулярности к плоскости двух параллельных прямых. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна этой плоскости.

3.3.5. Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

3.3.6. Теорема о перпендикулярной прямой к плоскости через точку. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

3.3.7. Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

3.3.8. Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

3.3.9. Определение. Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от любой точки прямой до плоскости.

3.3.10. Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

3.3.11. Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

3.3.12. Определение. Проекцией фигуры на плоскость называют фигуру, образованную проекциями всех точек первоначальной фигуры на плоскость.

3.3.13. Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

3.3.14. Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

3.3.15. Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.

3.3.16. Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

3.3.17. Обратная теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

3.3.18. Признак перпендикулярности плоскостей: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

3.3.19. Теорема о перпендикулярности плоскости двум пересекающимся плоскостям. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.