4. Стереометрия (формулы)

4.1. Призмы

4.1.1. Призма —  многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.

4.1.2. Прямая призма — призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскости основания

4.1.3. Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

4.1.4. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы, или произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

    \[ V = S_o \cdot h = S_{\perp} \cdot c \]

где  S_o — площадь основания,  h — высота,  S_{\perp} — площадь перпендикулярного сечения призмы,  c — длина бокового ребра.

4.1.5. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней или произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

    \[ S_{bok} = S_1 + S_2 + ... + S_n  = P_{\perp} \cdot c\]

где  S_1, S_2, ... S_n — площади боковых граней,  P_{\perp} — периметр перпендикулярного сечения призмы.

4.1.6. Площадь боковой поверхности  прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:

    \[ S_{bok} = P \cdot h \]

где  P — периметр основания призмы,  h — высота призмы.

4.1.7. Площадь всей поверхности призмы равна сумме удвоенной площади основания и площади боковой поверхности:

    \[ S = 2 \cdot S_o + S_{bok}\]

4.1.8. Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм.

4.1.9. Прямой параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.

4.1.10. Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда или произведению всех его ребер:

    \[ V = S_o \cdot h = abc \:,\]

где  a,b,c — ребра прямого параллелепипеда.

4.1.11. Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда:

    \[ S_{bok} = 2ac + 2bc\]

где  a, b — ребра при основании,  c — боковое ребро.

4.1.12. Площадь всей поверхности прямого параллелепипеда:

    \[ S_{bok} = 2ac + 2bc + 2ab\]

4.1.13. Куб — параллелепипед, все грани которого являются квадратами.

4.1.14. Объем куба равен кубу ребра:

    \[ V = a^3\]

4.1.15. Площадь боковой поверхности куба равна квадрату ребра, умноженному на четыре:

    \[ S_{bok} = 4a^2\]

4.1.16. Площадь всей поверхности куба равна квадрату ребра, умноженному на шесть:

    \[ S = 6a^2 \]

4.2. Пирамиды

4.2.1. Пирамида — многогранник, в основании которого произвольный многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

4.2.2. Правильная пирамида — пирамида, в основании которой правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

4.2.3. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды:

    \[ V = \frac {1}{3} \cdot S_o \cdot h \]

4.2.4. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

    \[ S_{bok} = \frac {1}{2} P \cdot a  \]

где  P — периметр основания,  a — апофема (высота боковой грани).

4.2.5. Площадь всей поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

    \[ S = S_o + S_{bok}\]

4.3. Тела вращения

4.3.1. Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

4.3.2. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту или произведению  \pi на квадрат радиуса и на высоту цилиндра:

    \[ V = S_o \cdot h = \pi R^2 h\]

где R, h — радиус и высота цилиндра.

4.3.3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна удвоенному произведению  \pi на радиус и на высоту цилиндра:

    \[ S_{bok} = 2 \pi R h  \]

4.3.4. Площадь всей поверхности цилиндра:

    \[ S = 2 \pi R (h + R) \]

4.3.5. Конус — геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.

4.3.6. Объем конуса равен одной трети произведения  \pi на квадрат радиуса и на высоту конуса:

    \[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\]

4.3.7. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению  \pi на радиус и на образующую конуса:

    \[ S_{bok} = \pi R L \]

где L — образующая конуса.

4.3.8. Площадь всей поверхности конуса:

    \[ S = \pi R (L + R) \]

4.3.9. Шар — геометрическое тело, образованное вращением круга вокруг своего диаметра.

4.3.10. Сфера — поверхность шара.

4.3.11. Объем шара равен четырем третям произведения  \pi на куб радиуса:

    \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]

4.3.12. Площадь сферы равна учетверенному произведению  \pi на квадрат радиуса:

    \[ S = 4 \pi R^2 \]