Колебания — Репетитор физики, математики

Период колебания $T$ [с]- время, за которое совершается одно колебание колебательной системы.

$T=\frac{1}{\nu}=\frac{2\pi}{\omega}\qquad_{(18.1)}$

Частота колебаний $\nu$ [Гц]- число колебаний, совершенных колебательной системой за 1 сек.

$\nu=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}\qquad_{(18.2)}$

Циклическая частота $\omega$ [рад/с] — угол, на который поворачивается механический аналог колебательной системы за 1 сек.

$\omega=2\pi\nu =\frac{2\pi}{T}\qquad_{(18.3)}$

Амплитуда колебаний — модуль максимального отклонения изучаемой величины от равновесного значения (например, $\mid x_m \mid$ — амплитуда координаты, $\mid I_m \mid$ — амплитуда силы тока).

Математический (нитяной) маятник — это колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити (стержне) в однородном гравитационном поле.

Период колебаний математического маятника:

$T= 2 \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g}} \qquad_{(18.4)}$

где $l$ — длина нити (стержня), $g$ — ускорение свободного падения.

Координата математического маятника изменяется по гармоническому закону:

$x = x_m \cdot \cos{(\omega \cdot t + {\varphi}_1)} \qquad_{(18.5)}$

где $\mid x_m \mid$ — амплитуда колебаний координаты, $\omega$ — циклическая частота, ${\varphi}_1$ — начальная фаза колебаний координаты.

Скорость математического маятника изменяется по гармоническому закону:

$v = v_m \cdot \cos{(\omega \cdot t + {\varphi}_2)} \qquad_{(18.6)}$

где $\mid v_m \mid$ — амплитуда колебаний скорости, ${\varphi}_2$ — начальная фаза колебаний скорости.

Скорость маятника равна производной координаты по времени:

$v = x' = ( x_m \cdot \cos{(\omega \cdot t + {\varphi}_1)} )' \qquad_{(18.7)}$

Ускорение маятника равно производной скорости и второй производной координаты:

$a = v' = x'' = ( x_m \cdot \cos{(\omega \cdot t + {\varphi}_1)} )'' \qquad_{(18.8)}$

Полная энергия математического маятника остается неизменной во время колебаний $W_{\Pi O \Lambda} = W_{ph} + W_k =conct$ :

$W_{\Pi O \Lambda}= m \cdot g \cdot h + \frac{m \cdot v^2}{2} \qquad_{(18.9)}$

Полная энергия математического маятника равна максимальной кинетической и максимальной потенциальной энергии:

$W_{\Pi O \Lambda}= W_{km} = \frac{m \cdot {v_m}^2}{2} \qquad_{(18.10)}$

$W_{\Pi O \Lambda}= W_{phm} = m \cdot g \cdot h_m \qquad_{(18.11)}$

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины с закрепленным концом, к другому концу которой прикреплен груз, колеблющийся под действием силы упругости.

Период колебаний пружинного маятника:

$T= 2 \pi \cdot \sqrt{ \frac{m}{k}} \qquad_{(18.12)}$

где $m$ — масса груза, $k$ — жесткость пружины.

Координата пружинного маятника изменяется по гармоническому закону:

$x = x_m \cdot \cos{(\omega \cdot t + {\varphi}_1)} \qquad_{(18.13)}$

Скорость пружинного маятника изменяется по гармоническому закону:

$v = v_m \cdot \cos{(\omega \cdot t + {\varphi}_2)} \qquad_{(18.14)}$

Полная энергия пружинного маятника остается неизменной во время колебаний $W_{\Pi O \Lambda} = W_{px} + W_k = const$ :

$W_{\Pi O \Lambda}= \frac{k \cdot x^2}{2} + \frac{m \cdot v^2}{2} \qquad_{(18.15)}$

Полная энергия пружинного маятника равна максимальной кинетической и максимальной потенциальной энергии:

$W_{\Pi O \Lambda}= W_{km} = \frac{m \cdot {v_m}^2}{2} \qquad_{(18.16)}$

$W_{\Pi O \Lambda}= W_{pxm} = \frac{k \cdot {x_m}^2}{2} \qquad_{(18.17)}$

Колебательный контур — это электрическая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности. Колебания начинаются из состояния, когда конденсатор заряжен до максимального напряжения и заряда, а ток на катушке индуктивности равен нулю.

Период колебаний колебательного контура:

$T= 2 \pi \cdot \sqrt{ L \cdot C} \qquad_{(18.18)}$

где $L$ — индуктивность катушки, $C$ — емкость конденсатора.

Заряд и напряжение на конденсаторе колебательного контура изменяются синхронно по гармоническому закону:

$q = q_m \cdot \cos{(\omega \cdot t + {\varphi_1})} \qquad_{(18.19)}$

$U = U_m \cdot \cos{(\omega \cdot t + {\varphi_1})} \qquad_{(18.20)}$

где $\mid q_m \mid$ — амплитуда заряда, $\mid U_m \mid$ — амплитуда напряжения, ${\varphi}_1$ — начальная фаза колебаний заряда и напряжения.

Сила тока через катушку индуктивности колебательного контура изменяется по гармоническому закону:

$I = I_m \cdot \cos{(\omega \cdot t + {\varphi_2})} \qquad_{(18.21)}$

где $\mid I_m \mid$ — амплитуда силы тока, ${\varphi}_2$ — начальная фаза колебаний силы тока.

Сила тока равна производной заряда по времени:

$I = q' = (q_m \cdot \cos{(\omega \cdot t + {\varphi_1})})' \qquad_{(18.22)}$

Полная энергия колебательного контура остается неизменной во время колебаний $W_{\Pi O \Lambda} = W_L + W_C =const$ :

$W_{\Pi O \Lambda}= \frac{q^2}{2C} + \frac{L \cdot I^2}{2} \qquad_{(18.23)}$

$W_{\Pi O \Lambda}= \frac{C \cdot U^2}{2} + \frac{L \cdot I^2}{2} \qquad_{(18.24)}$

Полная энергия колебательного контура равна максимальной энергии конденсатора и максимальной энергии катушки индуктивности:

$W_{\Pi O \Lambda}= W_{C_m} = \frac{{q_m}^2}{2C} = \frac{C \cdot {U_m}^2}{2} \qquad_{(18.25)}$

$W_{\Pi O \Lambda}= W_{Lm} = \frac{L \cdot {I_m}^2}{2} \qquad_{(18.26)}$